حاسبة الانحراف المعياري

يقيس الانحراف المعياري مقدار تشتّت البيانات حول المتوسط الحسابي. قيمة صغيرة تعني أن القيم متقاربة من المتوسط، بينما القيمة الكبيرة تشير إلى انتشار أكبر. نميّز بين انحراف المجتمع (σ) عندما تكون لدينا كل البيانات، وانحراف العيّنة (s) عندما نحلّل عيّنة تمثّل المجتمع.

١) الصيغ الأساسية (معادلات)

المتوسط:   x̄ = (Σx) ÷ n

التباين للمجتمع:   σ² = Σ(x − μ)² ÷ N   ← الانحراف: σ = √σ²

التباين للعيّنة:   s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)   ← الانحراف: s = √s²

نستخدم القاسم (n−1) مع العيّنة لما يُعرف بتصحيح بسيزل لإزالة التحيّز.

٢) خطوات عملية سريعة

1. احسب المتوسط x̄.
2. اطرح المتوسط من كل قيمة، ثم ارفع النتيجة للقوة 2.
3. اجمع مربعات الفروق ⇒ هذا هو مجموع المربعات.
4. اقسم على N (للمجتمع) أو n−1 (للعيّنة) لتحصل على التباين.
5. خذ الجذر التربيعي للتباين لتحصل على الانحراف المعياري.

٣) مثالان مُفسَّران

مثال عيّنة: القيم: 10، 12، 13، 15، 20 (n=5)

• المتوسط x̄ = (10+12+13+15+20) / 5 = 14
• مربعات الفروق: (−4)²، (−2)²، (−1)²، (1)²، (6)² ⇒ 16، 4، 1، 1، 36 ⇒ المجموع = 58
• التباين العيّني s² = 58 ÷ (5−1) = 14.5   ⇒   الانحراف s = √14.5 ≈ 3.81

مثال مجتمع: بنفس الأرقام لكن نقسم على N=5 ⇒ σ² = 58 ÷ 5 = 11.6 ⇒ σ ≈ 3.41.

٤) متى أستخدم σ ومتى أستخدم s؟

• σ (المجتمع): عندما يتوفر لديك كل مشاهدات المجتمع (مثل درجات كل طلاب مدرسة صغيرة).
• s (العيّنة): عندما تأخذ عيّنة من المجتمع (استبيان، تجربة…)، وهو الأكثر شيوعًا في التحليل اليومي.

٥) نصائح وإرشادات عملية

• تحقق من القيم الشاذة باستخدام المخطط التكراري — فهي ترفع الانحراف كثيرًا.
• للمقارنة بين مجموعات بمقاييس مختلفة، استخدم معامل الاختلاف CV = (الانحراف ÷ المتوسط) × 100٪.
• لبيانات مائلة بشدة، فكّر في مقياس بديل للتشتّت مثل المدى الربيعي IQR.

٦) أسئلة شائعة

لماذا نقسم على (n−1) في العيّنة؟

لأن المتوسط المحسوب من العيّنة يميل إلى تقليل التباين الحقيقي؛ القاسم (n−1) يصحح هذا الانحياز ويعطي تقديرًا غير متحيّز.

هل الانحراف المعياري مناسب دائمًا؟

هو ممتاز للبيانات القريبة من التوزيع الطبيعي. إن كانت البيانات مائلة أو بها قمم ثقيلة، استخدم أيضًا IQR أو مقاييس قوية أخرى.

كيف أفسّر قيمة الانحراف؟

قيمة صغيرة ⇒ تشتّت منخفض؛ كبيرة ⇒ تشتّت عالٍ. قارِنها بوحدة القياس نفسها أو استخدم CV للمقارنة النسبية.

هل تؤثر القيَم المفقودة/غير الصالحة؟

نعم. احذف القيم غير الرقمية وتحقق من جودة البيانات قبل الحساب لضمان نتائج موثوقة.

ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟

التباين بوحدة مربّعة (مثلاً م²)، أما الانحراف فهو الجذر التربيعي للتباين وبنفس وحدة البيانات الأصلية، لذلك يسهل تفسيره.

٧) أدوات مرتبطة

• حاسبة المتوسط والوسيط والمنوال
• حاسبة التباين
• حاسبة النسبة المئوية
• الآلة الحاسبة العلمية
• مولِّد الأعداد العشوائية

هذه المادة للتوعية والتعليم؛ قد يلزمك مختصّ إحصائي عند التحليل المهني عالي الأثر.